回答1：
能，该部门具有法定职责。

回答2：
可以的。中国法律很大程度不承认送养。

     就说送养属于非法，不被认可的行为。因为送养表示有父母，父母有抚养权而且法律对剥夺抚养权缺失，就说一直有抚养权，送出去了也有。   包括新闻偶尔看到卖小孩的，经常打拐找到小孩了也只能送回去，虽然很可能人家只是再卖一次。  剥夺抚养权这方面法律缺失

真正法律认可或者说默认的，是那种捡到，或者送养很多年的，法律默认那种父子关系，母子关系。但是其实同样是缺失。

回答3：
如果收养方有一切合理合法的证据，送养方就没有权利通过公安部门寻找。当然，如果双方只是私下里协商的，还是可以去寻找的。