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1、定理的提出　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

2、[编辑本段]定理的内容　　托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

3、 　　原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

4、　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．[编辑本段]证明　　（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

5、）　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD　　因为△ABE∽△ACD　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)　　又有比例式AB/AC=AE/AD　　而∠BAC=∠DAE　　所以△ABC∽△AED相似.　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)　　(1)+(2),得　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC　　又因为BE+ED≥BD　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）　　所以命题得证[编辑本段]推论　　任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

6、　　托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、[编辑本段]推广　　托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

7、　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 　　注意：　　等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

8、 　　四点不限于同一平面。

9、 　　欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD。

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